Câu đố thiên niên kỷ đẳng cấp thế giới "Phương trình Navier-Stokes": công thức phức tạp nhất trong lịch sử toán học!

Hôm nay cuối tuần, tôi giới thiệu với các bạn Phương trình Navier-Stokes, một trong bảy phương trình toán học phức tạp nhất thế giới, hy vọng các bạn có thời gian rảnh rỗi để cùng khám phá khoa học kỳ diệu thế nào.


Phương trình Navier-Stokes
Nó cho chúng ta biết điều gì?
Ẩn bên dưới phương trình là định luật chuyển động thứ hai của Newton. Vế trái của phương trình là gia tốc của vùng chất lỏng nhỏ. Bên phải là các lực tác dụng lên nó: áp suất, ứng suất và nội lực.
Tại sao nó lại quan trọng?
Nó cung cấp một cách rất chính xác để tính toán cách chất lỏng chuyển động. Đây là đặc điểm then chốt của vô số vấn đề khoa học và công nghệ.
Nó mang lại điều gì?
Máy bay chở khách hiện đại, tàu ngầm chạy nhanh và yên tĩnh, xe Công thức 1 luôn đi đúng hướng ở tốc độ cao và những tiến bộ y học nhằm vào lưu lượng máu trong tĩnh mạch và động mạch. Phương pháp máy tính được sử dụng để giải phương trình này, được gọi là động lực học chất lỏng tính toán (CFD), được các kỹ sư sử dụng rộng rãi để cải tiến công nghệ trong các lĩnh vực này.

Nhìn từ không gian, Trái đất là một quả cầu màu xanh trắng lấp lánh tuyệt đẹp với những mảng màu xanh lục và nâu, giống hệt như bất kỳ hành tinh nào khác trong hệ mặt trời (hoặc hơn 500 hành tinh hiện được biết là quay quanh các ngôi sao khác). Từ "Trái đất" ngay lập tức gợi nhớ đến hình ảnh này. Tuy nhiên, hơn năm mươi năm trước, ấn tượng chung mà từ này mang lại là “một nắm đất” trong việc làm vườn. Trước thế kỷ 20, con người nhìn lên bầu trời và nghĩ về các ngôi sao và hành tinh, nhưng họ đang đứng trên mặt đất. Chuyến bay của con người không gì khác hơn là một giấc mơ, một chủ đề thần thoại và truyền thuyết. Rất ít người nghĩ đến việc du hành đến một thế giới khác.
Một số người tiên phong dũng cảm bắt đầu từ từ leo lên bầu trời. Những người sớm nhất là người Trung Quốc. Khoảng năm 500 trước Công nguyên, Luban đã phát minh ra chim ác là bằng gỗ, có thể là một loại tàu lượn nguyên thủy. Vào năm 559 sau Công Nguyên, hoàng đế mới Gao Yang đã trói con trai của vị hoàng đế bị phế truất là Yuan Huangtou (trái với ý muốn của ông) vào một chiếc diều và yêu cầu anh ta do thám kẻ thù từ trên cao. Yuan Huangtou sống sót nhưng sau đó bị xử tử. Với việc phát hiện ra khí hydro vào thế kỷ 17, nhu cầu bay đã lan sang châu Âu, truyền cảm hứng cho một số linh hồn dũng cảm bay lên bằng khinh khí cầu vào các tầng thấp hơn của bầu khí quyển Trái đất. Vì hydro dễ nổ nên vào năm 1783, hai anh em người Pháp Joseph-Michel Montgolfier và Jacques-Etienne Montgolfier đã công khai trình diễn thêm một ý tưởng mới về an toàn của họ - khinh khí cầu. Đầu tiên là chuyến bay thử nghiệm không người lái, sau đó là chuyến bay do Etienne điều khiển.
Tốc độ tiến bộ và độ cao mà con người có thể leo lên bắt đầu tăng lên nhanh chóng. Năm 1903, Orville và Wilbur Wright thực hiện chuyến bay có động cơ đầu tiên sử dụng máy bay. Hãng hàng không đầu tiên, DELAG (Công ty Du lịch Khí cầu Đức), bắt đầu hoạt động vào năm 1910, chở hành khách từ Frankfurt đến Baden-Baden và Dusseldorf bằng khí cầu Zeppelin. Đến năm 1914, tuyến St. Petersburg–Tampa đã bay thương mại giữa hai thành phố của Florida, một hành trình kéo dài 23 phút trên “con tàu bay” của Tony Jannus. Du lịch hàng không thương mại nhanh chóng trở nên phổ biến và máy bay phản lực theo sau: Sao chổi de Havilland bắt đầu thực hiện các chuyến bay theo lịch trình vào năm 1952, nhưng độ mỏi của kim loại đã gây ra nhiều vụ tai nạn. Kể từ khi được giới thiệu vào năm 1958, Boeing 707 đã trở thành hãng dẫn đầu thị trường.

Ngày nay, người bình thường thường đạt tới độ cao 8.000 mét, đây là giới hạn hiện tại của họ, ít nhất là cho đến khi tàu vũ trụ của Virgin Galactic bắt đầu bay ở quỹ đạo thấp. Máy bay quân sự và thử nghiệm có thể leo lên độ cao lớn hơn. Chuyến bay vào vũ trụ, cho đến nay vẫn là giấc mơ của một số người có tầm nhìn xa trông rộng, đang bắt đầu có vẻ là một đề xuất khả thi. Năm 1961, nhà du hành vũ trụ Liên Xô Yuri Gagarin đã đạt được quỹ đạo có người lái đầu tiên quanh Trái đất trên tàu Vostok 1. Năm 1969, sứ mệnh Apollo 11 của NASA đã đưa hai phi hành gia người Mỹ là Niel Armstrong và Buzz Aldrin lên mặt trăng. Tàu con thoi bắt đầu hoạt động vào năm 1982, và mặc dù những hạn chế về ngân sách đã ngăn cản nó đạt được mục tiêu ban đầu là quay trở lại nhanh chóng và có người lái lặp lại, nhưng nó đã trở thành một trong những trụ cột của chuyến bay vũ trụ quỹ đạo thấp cùng với tàu vũ trụ Soyuz của Nga. Tàu con thoi Atlantis đã hoàn thành chuyến bay cuối cùng của chương trình tàu con thoi, nhưng các phương tiện mới, hầu hết do các công ty tư nhân chế tạo, đã được đưa vào chương trình. Châu Âu, Ấn Độ, Trung Quốc và Nhật Bản đều có các chương trình và bộ phận không gian riêng.
Sự đi lên theo nghĩa đen này của nhân loại đã thay đổi quan điểm của chúng ta về chúng ta là ai và chúng ta đang sống ở đâu - đó là lý do chính tại sao "Trái đất" bây giờ có nghĩa là hành tinh xanh và trắng này. Có lẽ chính hai màu sắc này đã mang lại khả năng bay mới cho con người. Màu xanh là nước và màu trắng là hơi nước như mây. Trái đất là một thế giới nước với đại dương, biển, sông hồ. Nước chảy rất tốt và thường chảy đến những nơi không cần thiết. Dòng chảy có thể là nước mưa nhỏ giọt từ mái nhà hay dòng thác chảy ào ạt như thác nước. Nó có thể êm đềm êm đềm, cũng có thể cuồn cuộn và nhanh chóng - nếu không có sông Nile, nơi nó chảy êm ả sẽ trở thành sa mạc; nhưng sáu thác nước của nó đều có những thác ghềnh đỉnh trắng xóa.
Nước (hay nói chung hơn là bất kỳ chất lỏng chảy nào) tạo thành các hình mẫu thu hút sự chú ý của các nhà toán học thế kỷ 19. Vào thời điểm đó họ đã đưa ra những phương trình đầu tiên cho dòng chất lỏng. Chất lỏng quan trọng trong chuyến bay không dễ nhìn thấy như nước, nhưng nó cũng có mặt khắp nơi: không khí. Luồng không khí phức tạp hơn về mặt toán học vì không khí có thể bị nén. Bằng cách sửa đổi các phương trình để áp dụng cho chất lỏng có thể nén được, các nhà toán học đã phát triển một ngành khoa học gọi là khí động học mà cuối cùng đã mang lại kỷ nguyên của chuyến bay. Những người tiên phong đầu tiên có thể đã bay dựa trên kinh nghiệm, nhưng máy bay thương mại và tàu con thoi chỉ cất cánh vì các kỹ sư đã tính toán để đảm bảo chúng an toàn và đáng tin cậy (tránh xảy ra tai nạn). Thiết kế máy bay đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về toán học của dòng chất lỏng. Người tiên phong của động lực học chất lỏng là nhà toán học nổi tiếng Leonhard Euler, người qua đời cùng năm mà anh em nhà Montgolfier thực hiện chuyến bay khinh khí cầu đầu tiên.
Có rất ít lĩnh vực toán học mà Euler nổi tiếng không quan tâm. Có người cho rằng một trong những nguyên nhân tạo nên thiên tài đa diện của ông là chính trị, hay chính xác hơn là việc né tránh chính trị. Ông đã làm việc nhiều năm tại triều đình Catherine II của Đế quốc Nga, và một cách hiệu quả để tránh bị cuốn vào những âm mưu chính trị với những hậu quả tai hại có thể xảy ra là bận rộn với toán học đến mức không ai tin rằng ông có thời gian dành cho nó. . chính trị. Nếu ông làm vậy, nhiều khám phá tuyệt vời sẽ nhờ vào triều đình Catherine II. Nhưng tôi có xu hướng nghĩ rằng Euler rất sung mãn vì đó là cách trí óc của ông hoạt động. Ông ấy đã tạo ra rất nhiều toán học vì ông ấy không thể làm được điều gì khác.
Vấn đề này cũng đã được các tiền bối nghiên cứu. Hơn 2.200 năm trước, Archimedes đã nghiên cứu tính ổn định của các vật thể nổi. Năm 1738, nhà toán học người Hà Lan Daniel Bernoulli xuất bản Hydrodynamica, một cuốn sách bao gồm nguyên lý chất lỏng chảy nhanh hơn khi áp suất thấp hơn. Ngày nay, người ta thường viện dẫn nguyên lý Bernoulli để giải thích tại sao máy bay lại bay được: hình dạng của cánh được thiết kế để cho không khí lưu chuyển nhanh hơn dọc theo bề mặt trên của nó, từ đó làm giảm áp suất và tạo ra lực nâng. Lời giải thích này hơi đơn giản hóa quá mức, có nhiều yếu tố khác liên quan đến việc bay, nhưng nó minh họa được mối quan hệ chặt chẽ giữa các nguyên lý toán học cơ bản và thiết kế máy bay thực tế. Bernoulli cô đọng các nguyên lý của mình thành một phương trình đại số về vận tốc và áp suất trong chất lỏng không nén được.
Năm 1757, Euler sử dụng trí óc tích cực của mình để nghiên cứu dòng chất lỏng và xuất bản một bài báo trong "Kỷ yếu của Viện Hàn lâm Khoa học Berlin": "Nguyên tắc chung của chuyển động chất lỏng". Đây là nỗ lực nghiêm túc đầu tiên nhằm sử dụng các phương trình vi phân từng phần để mô hình hóa dòng chất lỏng. Để giữ vấn đề trong giới hạn hợp lý, Euler đã đưa ra một số giả định đơn giản hóa, cụ thể là ông tin rằng chất lỏng không thể nén được, giống như nước, không giống như không khí, và có độ nhớt bằng 0—không có độ dính. Những giả định này cho phép ông tìm ra một số nghiệm, nhưng chúng cũng khiến các phương trình của ông trở nên không thực tế. Ngày nay người ta vẫn sử dụng phương trình Euler cho một số loại bài toán nhất định, nhưng nhìn chung nó quá đơn giản và ít ứng dụng thực tế.
Hai nhà khoa học đã đưa ra một phương trình gần với thực tế hơn. Claude-Louis Navier là một kỹ sư và nhà vật lý người Pháp, còn George Gabriel Stokes là nhà toán học và vật lý người Ireland. Navier đã đưa ra hệ phương trình vi phân từng phần cho dòng chất lỏng nhớt vào năm 1822; hai mươi năm sau, Stokes công bố về chủ đề này. Mô hình dòng chất lỏng thu được hiện nay được gọi là phương trình Navier-Stokes (thường sử dụng số phức, tức là phương trình Navier-Stokes, vì phương trình được biểu diễn dưới dạng vectơ nên nó có một số thành phần). Phương trình này chính xác đến mức các kỹ sư hiện nay thường giải nó bằng máy tính thay vì kiểm tra vật lý trong các hầm gió. Kỹ thuật này, được gọi là động lực học chất lỏng tính toán (CFD), hiện là tiêu chuẩn cho mọi vấn đề liên quan đến dòng chất lỏng: khí động học của tàu con thoi, thiết kế xe đua Công thức 1 và xe chở khách hàng ngày cũng như sự tuần hoàn máu trong cơ thể con người. Hoặc một trái tim nhân tạo.
Chúng ta có hai cách suy nghĩ về hình học của chất lỏng. Một là theo dõi chuyển động của từng hạt chất lỏng nhỏ bé để xem chúng sẽ đi đâu; hai là tập trung vào vận tốc của những hạt đó: chúng chuyển động nhanh như thế nào và theo hướng nào tại bất kỳ thời điểm nào. Hai phương pháp này có liên quan chặt chẽ với nhau, nhưng mối quan hệ này khó được giải quyết ngoài các phép tính gần đúng bằng số. Một cái nhìn sâu sắc quan trọng của Euler, Navier và Stokes là nhận ra rằng mọi thứ trông đơn giản hơn nhiều nếu bạn bắt đầu với tốc độ. Dòng chảy của chất lỏng được hiểu rõ nhất dưới dạng trường vận tốc: nó mô tả một cách toán học vận tốc thay đổi như thế nào từ điểm này trong không gian đến điểm khác và từ thời điểm này sang thời điểm khác. Vì vậy, Euler, Navier và Stokes đã viết ra các phương trình mô tả trường vận tốc để có thể tính được mô hình dòng chảy thực tế của chất lỏng, ít nhất là ở mức gần đúng.

Dạng của phương trình Navier–Stokes như sau:

Phương trình này bắt nguồn từ vật lý cơ bản. Giống như phương trình sóng, bước quan trọng đầu tiên là áp dụng định luật chuyển động thứ hai của Newton để liên hệ chuyển động của các hạt chất lỏng với các lực tác dụng lên chúng. Lực chính là ứng suất đàn hồi, bao gồm chủ yếu hai thành phần: ma sát gây ra bởi độ nhớt của chất lỏng và tác động của áp suất, dù là dương (nén) hay âm (hiếm). Ngoài ra còn có các lực của cơ thể, xuất phát từ gia tốc của chính các hạt chất lỏng. Việc kết hợp tất cả thông tin này dẫn đến phương trình Navier–Stokes, phương trình này có thể được coi là sự mô tả định luật bảo toàn động lượng trong bối cảnh cụ thể này. Cơ sở vật lý đằng sau nó hoàn hảo và mô hình đủ thực tế để bao gồm hầu hết các yếu tố quan trọng, đó là lý do tại sao nó thích ứng rất tốt với thực tế. Giống như tất cả các phương trình vật lý toán học cổ điển truyền thống, nó là một mô hình liên tục: nó giả định rằng chất lỏng có thể chia được vô hạn.
Đây có thể là chìa khóa dẫn đến sự mất kết nối giữa các phương trình Navier–Stokes và thực tế, nhưng sự khác biệt chỉ nảy sinh khi chuyển động kéo theo những thay đổi nhanh chóng ở quy mô của từng phân tử. Phong trào quy mô nhỏ này rất quan trọng trong bối cảnh quan trọng: sự hỗn loạn. Nếu bạn mở vòi và để nước chảy ra từ từ thì nước sẽ tạo thành dòng nước nhỏ giọt êm ái. Tuy nhiên, nếu mở vòi hết cỡ, bạn thường sẽ thấy nước chảy ra nhiều bọt. Dòng bọt tương tự xảy ra ở các thác ghềnh trên sông. Hiệu ứng này được gọi là "sự nhiễu loạn" và bất kỳ ai bay thường xuyên đều nhận thức rõ tác động của nó khi nó xảy ra trên không: có cảm giác như thể máy bay đang di chuyển trên một con đường gập ghềnh.
Phương trình Navier–Stokes rất khó giải. Trước khi những chiếc máy tính cực nhanh được phát minh, phương trình này khó giải đến mức các nhà toán học buộc phải sử dụng đủ loại đường tắt và phép tính gần đúng. Nhưng nếu bạn nghĩ về những gì chất lỏng thực sự có thể làm thì điều đó hẳn là khó khăn. Bạn chỉ cần nhìn vào nước chảy thành dòng hoặc sóng vỗ vào bãi biển là có thể thấy chất lỏng có thể chuyển động theo những cách vô cùng phức tạp. Có những gợn sóng và xoáy nước, sóng và xoáy nước, cùng những cảnh đẹp hấp dẫn như Severn Spring Tide, khi thủy triều dâng cao và bức tường nước đổ vào cửa sông Severn ở tây nam nước Anh. Mô hình dòng chất lỏng là nguồn gốc của vô số nghiên cứu toán học, nhưng một trong những câu hỏi lớn nhất và cơ bản nhất của lĩnh vực này vẫn chưa được trả lời: Liệu có đảm bảo toán học nào rằng nghiệm của các phương trình Navier–Stokes thực sự tồn tại và đúng cho mọi thời điểm trong tương lai hay không? Bất cứ ai giải được bài toán này sẽ nhận được giải thưởng trị giá hàng triệu đô la. Đây là một trong bảy câu đố được Giải thưởng Thiên niên kỷ của Viện Toán học Clay đại diện cho những bài toán quan trọng nhất chưa được giải quyết của thời đại chúng ta. Đối với dòng chảy hai chiều, câu trả lời là “có”, nhưng không ai biết câu trả lời cho dòng chảy ba chiều.

Phương trình Navier–Stokes đã cách mạng hóa giao thông vận tải hiện đại. Có lẽ tác động lớn nhất của nó sẽ là thiết kế máy bay, nó không chỉ phải bay hiệu quả mà còn phải ổn định và đáng tin cậy. Thiết kế tàu cũng được hưởng lợi từ phương trình này vì nước là chất lỏng. Nhưng ngay cả những chiếc ô tô gia đình thông thường hiện nay cũng được thiết kế theo nguyên tắc khí động học, không chỉ vì nó trông đẹp, phong cách hơn mà còn vì để giảm tiêu hao nhiên liệu, lực cản do không khí chạy qua xe gây ra phải được giảm thiểu. Một cách để giảm lượng khí thải carbon của bạn là lái một chiếc ô tô hiệu quả về mặt khí động học. Tất nhiên, có nhiều cách khác, từ lái những chiếc xe nhỏ hơn, chậm hơn đến chuyển sang sử dụng động cơ điện, hoặc đơn giản là lái xe ít hơn. Một số cải tiến lớn về số liệu tiêu thụ nhiên liệu đến từ những tiến bộ công nghệ trong động cơ, một số cải tiến đến từ tính khí động học tốt hơn.
Trong giai đoạn đầu của thiết kế máy bay, những người tiên phong đã sử dụng những ước tính sơ bộ, trực giác vật lý cũng như thử và sai để chế tạo máy bay. Điều này là đủ khi mục tiêu của bạn là bay 100 mét cách mặt đất không quá 3 mét. Lần đầu tiên Flyer One của anh em nhà Wright rời mặt đất một cách bình thường, thay vì dừng lại và rơi ba giây sau khi cất cánh, nó đã di chuyển được quãng đường 120 feet với tốc độ chưa đến 7 dặm/giờ. Lần đó, phi công Orville đã giữ được nó trên không trong 12 giây. Nhưng máy bay chở khách tăng quy mô nhanh chóng vì lý do kinh tế: càng chở được nhiều người trên một chuyến bay thì lợi nhuận càng cao. Chẳng bao lâu nữa, thiết kế máy bay phải dựa trên những phương pháp hợp lý và đáng tin cậy hơn. Khí động lực học ra đời và công cụ toán học cơ bản của nó là phương trình dòng chất lỏng. Vì không khí có tính nhớt và có thể nén được nên các phương trình Navier-Stokes, hoặc một phiên bản đơn giản nào đó của chúng phù hợp với một bài toán cụ thể, chiếm vị trí trung tâm trong lý thuyết.

Tuy nhiên, nếu không có máy tính hiện đại, những phương trình này gần như không thể giải được. Vì vậy, các kỹ sư đã chuyển sang sử dụng một loại "máy tính mô phỏng": đưa mô hình máy bay vào hầm gió. Người ta sử dụng một số tính chất chung của phương trình để tính toán xem các biến thay đổi như thế nào khi quy mô của mô hình thay đổi.Phương pháp này cung cấp thông tin cơ bản một cách nhanh chóng và đáng tin cậy. Ngày nay, hầu hết các đội Công thức 1 đều sử dụng đường hầm gió để thử nghiệm thiết kế và đánh giá những cải tiến có thể có, nhưng máy tính hiện nay mạnh đến mức hầu hết các đội cũng sử dụng CFD. Ví dụ, Hình 10.1 cho thấy kết quả tính toán CFD của luồng không khí đi qua xe đua BMW Sauber. Khi tôi viết bài này, một đội có tên Virgin Racing chỉ sử dụng CFD nhưng họ cũng sẽ sử dụng đường hầm gió vào năm tới.

 Kết quả tính toán lưu lượng gió qua xe đua Công thức 1
Đường hầm gió không thuận tiện lắm; xây dựng và vận hành tốn kém và cần nhiều mô hình quy mô. Có lẽ khó khăn lớn nhất là đo lường chính xác mà không ảnh hưởng đến luồng không khí. Nếu bạn đặt một thiết bị vào ống gió để đo thứ gì đó như áp suất không khí, bản thân thiết bị đó sẽ làm gián đoạn luồng không khí. Có lẽ ưu điểm thực tế lớn nhất của CFD là nó có thể được tính toán mà không ảnh hưởng đến luồng không khí. Bất cứ điều gì bạn có thể muốn đo lường đều có sẵn. Ngoài ra, bạn có thể sửa đổi thiết kế của một chiếc ô tô hoặc bộ phận trong phần mềm, việc này nhanh hơn và rẻ hơn nhiều so với việc tạo ra nhiều mẫu xe khác nhau. Dù vậy, các quy trình sản xuất hiện đại thường sử dụng các mô hình máy tính trong giai đoạn thiết kế.
Nghiên cứu chuyến bay siêu âm (di chuyển nhanh hơn tốc độ âm thanh) bằng mô hình đường hầm gió đặc biệt khó khăn vì tốc độ gió rất cao. Ở những tốc độ này, không khí rời khỏi máy bay chậm hơn tốc độ máy bay có thể tự đẩy mình trong không khí và điều này gây ra sóng xung kích—sự gián đoạn đột ngột của áp suất không khí có thể nghe thấy trên mặt đất khi có tiếng nổ siêu âm. Vấn đề môi trường này là một trong những nguyên nhân khiến Concorde Anh-Pháp - máy bay thương mại siêu thanh duy nhất từng được đưa vào sử dụng - hoạt động kém: nó không được phép bay với tốc độ siêu thanh ngoại trừ trên biển. CFD được sử dụng rộng rãi để dự đoán luồng không khí đi qua máy bay siêu thanh.
Có khoảng 600 triệu ô tô và hàng chục nghìn máy bay dân dụng trên hành tinh, vì vậy mặc dù những ứng dụng CFD này có vẻ là công nghệ cao nhưng chúng thực sự rất quan trọng đối với cuộc sống hàng ngày. Một số ứng dụng khác của CFD có liên quan chặt chẽ hơn đến con người. Ví dụ, nó được các nhà nghiên cứu y tế sử dụng rộng rãi để hiểu lưu lượng máu trong cơ thể con người. Bệnh tim, một trong những nguyên nhân gây tử vong hàng đầu ở người dân ở các nước phát triển, có thể do các vấn đề về tim hoặc tắc nghẽn động mạch, làm tắc nghẽn dòng máu và dẫn đến cục máu đông. Vì thành động mạch có tính đàn hồi nên bài toán về lưu lượng máu của con người đặc biệt khó giải quyết bằng phương pháp phân tích. Việc tính toán chuyển động của chất lỏng qua một ống cứng đã khó, nhưng còn khó hơn nếu ống cứng cũng có thể thay đổi hình dạng tùy thuộc vào áp suất do chất lỏng gây ra, vì hiện nay miền tính toán không còn không đổi theo thời gian. Hình dạng của miền tính toán ảnh hưởng đến mô hình dòng chảy của chất lỏng, từ đó ảnh hưởng đến hình dạng của miền. Máy tính giấy và bút chì không thể xử lý được những vòng phản hồi phức tạp như vậy.
CFD là giải pháp lý tưởng cho loại bài toán này vì máy tính có thể thực hiện hàng tỷ phép tính mỗi giây. Các phương trình đã phải được sửa đổi để tính đến tác dụng của các bức tường đàn hồi, nhưng điều này chủ yếu vay mượn các nguyên lý cần thiết từ lý thuyết đàn hồi, một nhánh phát triển tốt khác của cơ học liên tục cổ điển. Ví dụ, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne ở Thụy Sĩ đã thực hiện các phép tính về cách máu chảy qua động mạch chủ. Kết quả cung cấp thông tin có thể giúp bác sĩ hiểu rõ hơn về bệnh tim mạch.
Nó cũng giúp các kỹ sư phát triển các thiết bị y tế cải tiến như stent - ống lưới kim loại nhỏ giữ cho động mạch luôn mở. Sunčica Čanić đã sử dụng CFD và mô hình hóa đặc tính đàn hồi để thiết kế giàn giáo tốt hơn và một định lý toán học mà cô rút ra đã khiến một thiết kế bị loại bỏ và đề xuất một thiết kế tốt hơn. Loại mô hình này đã trở nên chính xác đến mức Cục Quản lý Thực phẩm và Dược phẩm Hoa Kỳ đang xem xét yêu cầu bất kỳ nhóm thiết kế ống đỡ động mạch nào phải thực hiện mô hình toán học trước khi tiến hành thử nghiệm lâm sàng. Các nhà toán học và bác sĩ đang hợp tác để sử dụng phương trình Navier–Stokes để dự đoán và điều trị tốt hơn những nguyên nhân hàng đầu gây ra cơn đau tim.
Một ứng dụng liên quan khác là phẫu thuật bắc cầu tim, trong đó các tĩnh mạch từ nơi khác trong cơ thể được cấy vào động mạch vành. Hình dạng của mảnh ghép có tác động lớn đến lưu lượng máu, từ đó ảnh hưởng đến quá trình đông máu - điều này dễ xảy ra hơn khi có dòng xoáy trong dòng máu, vì máu có thể bị mắc kẹt trong dòng xoáy và không lưu thông bình thường. Vì vậy, những gì chúng ta có thể thấy ở đây là mối liên hệ trực tiếp giữa hình dạng của chất lỏng và các vấn đề y tế tiềm ẩn.
Phương trình Navier–Stokes còn có một ứng dụng khác: biến đổi khí hậu, còn được gọi là hiện tượng nóng lên toàn cầu. Khí hậu và thời tiết có liên quan nhưng không giống nhau. Thời tiết xảy ra tại một thời điểm cụ thể và ở một nơi cụ thể. Trời có thể đang mưa ở London, có tuyết ở New York hoặc có một cái lò ở sa mạc Sahara. Thời tiết nổi tiếng là không thể đoán trước được và vì những lý do toán học chính đáng. Tuy nhiên, phần lớn những điều không thể đoán trước được phát sinh từ những thay đổi quy mô nhỏ trong không gian và thời gian – các chi tiết. Nếu người dự báo thời tiết trên TV dự đoán rằng chiều mai sẽ có mưa ở thị trấn của bạn, nhưng sáu giờ sau trời lại mưa và rơi cách đó 20 km, anh ta sẽ cho rằng dự đoán của mình là chính xác, nhưng bạn sẽ rất không hài lòng. . Khí hậu là "kết cấu" dài hạn của thời tiết—lượng mưa và nhiệt độ diễn ra như thế nào khi tính trung bình trong một khoảng thời gian dài, có thể là hàng thập kỷ. Bởi vì khí hậu tính trung bình những khác biệt này nên nghịch lý là nó lại dễ dự đoán hơn. Những khó khăn vẫn còn đáng kể và phần lớn tài liệu khoa học được dành cho việc nghiên cứu các nguồn sai sót có thể xảy ra và cố gắng cải thiện các mô hình.
Biến đổi khí hậu là một vấn đề gây tranh cãi về mặt chính trị, mặc dù có sự đồng thuận mạnh mẽ về mặt khoa học rằng các hoạt động của con người trong khoảng thế kỷ qua đã khiến nhiệt độ trung bình của Trái đất tăng lên. Mức tăng này cho đến nay nghe có vẻ nhỏ, khoảng 0,75 độ C trong thế kỷ 20, nhưng khí hậu rất nhạy cảm với sự thay đổi nhiệt độ trên quy mô toàn cầu. Chúng có xu hướng làm cho thời tiết trở nên cực đoan hơn, hạn hán và lũ lụt xảy ra thường xuyên hơn.

“Sự nóng lên toàn cầu” không có nghĩa là nhiệt độ sẽ thay đổi một lượng nhỏ như nhau ở mọi nơi. Ngược lại, nó biến động rất lớn ở những nơi khác nhau và ở những thời điểm khác nhau. Năm 2010, Vương quốc Anh trải qua mùa đông lạnh nhất trong 31 năm, khiến tờ Daily Express phải đăng dòng tít "Họ vẫn cho rằng đó là hiện tượng nóng lên toàn cầu". Tuy nhiên, trên toàn cầu, năm 2010 được coi là năm nóng nhất được ghi nhận. 1 Vậy "họ" nói đúng. Trên thực tế, đợt rét đậm là do sự thay đổi vị trí của dòng tia ở độ cao lớn, đẩy không khí lạnh từ Bắc Cực về phía nam, nơi có nhiệt độ ấm bất thường. Hai tuần sương giá ở trung tâm London không phủ nhận sự nóng lên toàn cầu. Điều kỳ lạ là cũng chính tờ báo đó lại đưa tin rằng Lễ Phục sinh năm 2011 là lễ nóng nhất được ghi nhận nhưng không liên quan gì đến hiện tượng nóng lên toàn cầu. Lần đó họ đã phân biệt chính xác giữa khí hậu và thời tiết. Tiêu chí chọn lọc này thực sự thú vị.
Tương tự như vậy, “biến đổi khí hậu” không chỉ có nghĩa là khí hậu đang thay đổi. Biến đổi khí hậu đã xảy ra nhiều lần mà không có sự trợ giúp của con người, chủ yếu là trong thời gian dài, do tro núi lửa và khí núi lửa, những thay đổi lâu dài trong quỹ đạo Trái đất quanh mặt trời và thậm chí cả sự va chạm của Ấn Độ Dương với mảng Á-Âu tạo ra dãy Himalaya trên quy mô. Vì mục đích của cuộc thảo luận này, “biến đổi khí hậu” đề cập đến “biến đổi khí hậu do con người gây ra”—những thay đổi về khí hậu toàn cầu do hoạt động của con người gây ra. Nguyên nhân chính là do tạo ra hai loại khí: carbon dioxide và metan. Chúng là khí nhà kính: chúng hấp thụ bức xạ (nhiệt) từ mặt trời. Vật lý cơ bản cho chúng ta biết rằng bầu khí quyển càng có nhiều loại khí này thì càng hấp thụ nhiều nhiệt; và mặc dù Trái đất mất đi một phần nhiệt nhưng nhìn chung Trái đất lại ấm hơn. Theo lý thuyết này, sự nóng lên toàn cầu đã được dự đoán vào những năm 1950 và sự gia tăng nhiệt độ được dự đoán về cơ bản phù hợp với những gì được quan sát.
Bằng chứng về sự gia tăng đáng kể nồng độ carbon dioxide đến từ nhiều nguồn. Trực tiếp nhất là lõi băng. Khi tuyết rơi ở các vùng cực, nó tích tụ lại tạo thành băng, lớp tuyết mới nhất ở trên và lớp tuyết cũ nhất ở phía dưới. Băng hấp thụ không khí, và các điều kiện phổ biến bên trong băng sao cho những khí này gần như không đổi trong thời gian dài, với không khí ban đầu ở bên trong và không khí mới nhất ở bên ngoài. Nếu cẩn thận, người ta có thể đo rất chính xác thành phần của không khí được hấp thụ và xác định thời gian hấp thụ. Các phép đo ở Nam Cực cho thấy nồng độ carbon dioxide trong khí quyển hầu như không thay đổi trong 100.000 năm qua - ngoại trừ mức tăng 30% trong 200 năm qua. Nguồn gốc của lượng carbon dioxide dư thừa có thể được suy ra từ tỷ lệ carbon-13, một trong những đồng vị của carbon. Hoạt động của con người cho đến nay là lời giải thích hợp lý nhất.
Lý do khiến chủ nghĩa hoài nghi có rất ít cơ sở phần lớn là do tính phức tạp của các dự báo khí hậu. Điều này phải được tính toán bằng các mô hình toán học vì nó liên quan đến tương lai. Không có mô hình nào có thể bao gồm mọi đặc điểm của thế giới thực và ngay cả khi có một mô hình như vậy, bạn sẽ không bao giờ có thể đoán được dự đoán của nó là gì vì không máy tính nào có thể mô phỏng được nó. Mọi sự khác biệt giữa mô hình và thực tế, dù tầm thường đến đâu, đều khiến những người hoài nghi thích thú. Chắc chắn vẫn có chỗ cho sự bất đồng về những tác động có thể xảy ra của biến đổi khí hậu hoặc những gì chúng ta nên làm để giảm thiểu nó. Nhưng vùi đầu vào cát không phải là lựa chọn sáng suốt.
Hai khía cạnh quan trọng của khí hậu là bầu khí quyển và đại dương. Cả hai đều là chất lỏng và cả hai đều có thể được nghiên cứu bằng phương trình Navier–Stokes. Năm 2010, Hội đồng Nghiên cứu Khoa học Vật lý và Kỹ thuật, cơ quan tài trợ khoa học chính của Vương quốc Anh, đã xuất bản một tài liệu về biến đổi khí hậu trong đó đặc biệt gọi toán học là lực lượng thống nhất: "Khí tượng học, vật lý, địa lý và nhiều lĩnh vực khác. Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực này đều đóng góp chuyên môn của họ, nhưng toán học là một ngôn ngữ thống nhất cho phép mọi người từ mọi tầng lớp xã hội thực hiện ý tưởng của họ trong các mô hình khí hậu. " Tài liệu cũng giải thích: "Những bí mật của hệ thống khí hậu được khóa trong các phương trình Navier–Stokes, nhưng chúng quá phức tạp để có thể Thay vào đó, các nhà lập mô hình khí hậu sử dụng các phương pháp số để tính toán dòng chất lỏng tại một lưới các điểm ba chiều, từ độ sâu của đại dương đến tầng khí quyển phía trên, bao phủ toàn bộ Trái đất. Khoảng cách theo chiều ngang của lưới là 100 km - bất kỳ khoảng cách nhỏ hơn nào sẽ khiến việc tính toán trở nên không thực tế. Một chiếc máy tính nhanh hơn sẽ không giúp được gì nhiều, vì vậy cách tốt nhất là bạn hãy suy nghĩ kỹ hơn. Các nhà toán học đang nỗ lực giải quyết số lượng các phương trình Navier–Stokes theo những cách hiệu quả hơn.

Các phương trình Navier–Stokes chỉ là một phần của câu đố về khí hậu. Các yếu tố khác bao gồm các dòng nhiệt trong và giữa các đại dương và khí quyển, ảnh hưởng của các đám mây, các ảnh hưởng không phải của con người như núi lửa và thậm chí cả khí thải máy bay trong tầng bình lưu. Những người hoài nghi muốn nêu bật những yếu tố này để cho rằng mô hình sai, nhưng chúng tôi biết rằng hầu hết các yếu tố đều không liên quan. Ví dụ, lượng khí thải CO2 hàng năm từ núi lửa chỉ chiếm 0,6% lượng CO2 do hoạt động của con người tạo ra. Tất cả các mô hình chính đều cho thấy có một vấn đề nghiêm trọng và con người đang gây ra vấn đề đó. Câu hỏi quan trọng hiện nay là Trái đất sẽ ấm lên bao nhiêu và điều này sẽ gây ra thảm họa ở mức độ nào. Vì không thể dự đoán hoàn hảo nên mọi người đều quan tâm đến việc các mô hình khí hậu tốt nhất có thể để chúng ta có thể thực hiện hành động thích hợp. Hành trình Tây Bắc sẽ mở ra khi chỏm băng ở Bắc Cực co lại khi sông băng tan chảy, trong khi các thềm băng ở Nam Cực đang vỡ ra và trượt xuống đại dương. Chúng ta không còn có thể mạo hiểm tin rằng mọi thứ sẽ tự nó tốt hơn mà không cần làm gì cả.